$ (1 - \sqrt{x})^2 = 0 $ Tomamos raíz cuadrada en ambos miembros: $|1 - \sqrt{x}| = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$ Por lo tanto, en $x=1$ ambas funciones se intersecan. Además teníamos un límite de integración impuesto, que era $x=0$. Así que ahora vamos a evaluar quién es techo y quién es piso en el intervalo $(0,1)$ 2) Techo y piso En el intervalo \( [0, 1) \) -> $f$ es techo y el eje $x$ es piso 3) Planteamos la integral del área $ A = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (1 - \sqrt{x})^2 \, dx $

Si expandimos ese cuadrado, usando la fórmula para el cuadrado del binomio (que te la recuerdo por acá, por las dudas jaja...)

$(a- b)^2 = a^2 -2ab + b^2$

nos queda: $ A = \int_{0}^{1} (1 - 2\sqrt{x} + x) \, dx $ Y ahora si resolvemos esta integral:

$ A = \int_{0}^{1} (1 - 2\sqrt{x} + x) \, dx = x - \frac{4}{3} x^{3/2} + \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{6} $

Por lo tanto, el área encerrada es \(\frac{1}{6}\).